Soal OSN 2011 Matematika - Uraian - 2 Nomor

Assalamu'alaikum.
Lama tidak membuka internet, kangen juga membahas soal matematika disini. Berikut ini soal OSN SMP 2011 tingkat propinsi untuk soal uraian. Maaf belum selesai disusun tinggal tunggu saja kelanjutannya.

Soal 1:
Jika bilangan bulat x dan y dibagi 4, maka bersisa 3. Jika bilangan x – 3y dibagi 4 maka akan bersisa berapa?

Soal 2:
Perhatikan gambar berikut. Suatu lingkaran berjari-jari 2 cm, berpusat di A. Suatu persegi memiliki titik sudut di A dan satu titik sudut di A dan satu titik sudut yang lain di lingkaran. Di dalam persegi tersebut terdapat lingkaran yang menyinggung keempat sisi persegi. Di dalam lingkaran terdapat persegi yang keempat titik sudutnya berada di lingkaran tersebut. Di dalam persegi ini terdapat lingkaran yang menyinggung keempat sisi persegi. Luas daerah yang diarsir sama dengan …


Penyelesaian:
Soal 1:
Jelas x = 4n + 3 dan y = 4m + 3 dengan m, n anggota bilangan bulat.
Jelas x – 3y = 4n + 3 - 3(4m + 3) = 4n + 3 - 4.3m - 9 = 4n - 4.3m - 6 = 4(n + 3m - 1) + 2
Jadi bersisa 2.
Soal 1 terselesaikan.


Soal 2:
Kalau yang ini baru agak mikir. Hehehe…

Tulis
L1: luas daerah persegi besar
L2: luas daerah lingkaran didalam persegi besar
L3: luas daerah persegi kecil
L4: luas daerah lingkaran yang terkecil
LD: luas yang diarsir



Jelas L1 = 2 karena panjang diagonal persegi besar sama dengan panjang jari-jari lingkaran terbesar. Berdasarkan rumus luas daerah persegi dengan diagonal, maka diketahui bahwa L1 = 2 cm².
Karena L1= 2, maka panjang sisi persegi1 adalah akar 2.
Oleh sebab panjang sisi persegi1 adalah akar 2, maka panjang jari-jari lingkaran2 adalah ½ akar 2.
Diperoleh L2= π . r² = π . [½ . akar 2]² = π . ½ = ½ . π.

Jelas panjang diameter lingkaran2 adalah akar 2, yang juga merupakan diagonal dari persegi3.
Sehingga L3 = ½ . (akar 2)² = 1.
Jai L3 = 1 cm².

Karena L3= 1, maka panjang sisi persegi3 adalah 1.
Oleh sebab panjang sisi persegi3 adalah 1, maka panjang jari-jari lingkaran4 adalah ½.
Diperoleh L4= π . r² = π . [(1/2)]² = (1/4)π

Diperoleh,
Jelas LD = (L1 – L2) + (L3 – L4) = (2 – ½ . π) + (1 – (1/4)π) = 3 - (3/4) π.
Jadi LD = 3 - (3/4) π.