Aljabar Bilangan - 01

Pertanyaan:
Tentukan sisa 1 x 3 x 5 x 7 x ... x 2005 jika dibagi 1000.

Penyelesaian:
Penyelesaian permasalah tersebut berawal dari perkalian sederhana:

10 = 2 x 5

100 = 4 x 25

1000 = 8 x 125

...

Artinya setiap bilangan 10ⁿ = a . (2n-1), u.s. a, n ∈ N.

Tulis: P = 1 x 3 x 5 x 7 x ... x 2005
Jelas
^P/₁₂₅ = (1 x 3 x 5 x 7 x ... x 123) x (127 x 129 x ... x 2005)
Tulis: (1 x 3 x 5 x 7 x ... x 123) x (127 x 129 x ... x 2005) = Q
Jadi ^P/₁₂₅ = Q.

Ingat kembali rumus suku ke-n pada barisan aritmatika, yaitu: U_n = a + (n - 1).b
Jelas 123 = 1 + (n_o - 1) . 2
⇔ n_o = 62.
Jadi banyaknya unsur di bagian kiri Q adalah 62.
Jelas 2005 = 127 + (n_i - 1) . 2
⇔ n_i = 940.
Jadi banyaknya unsur di bagian kanan Q adalah 940.

Ambil sembarang 4 bilangan ganjil berurutan.
Jelas
(2n - 3)(2n - 1)(2n + 1)(2n + 3)
= (4n² - 9)(4n² - 1)
= 16n⁴ - 40n² + 9
= 8(2n⁴ - 5n² + 1) + 1
= 8m + 1.

Jelas
62 = 4 x 15 + 2 dan
940 = 4 x 235 + 0
Jadi,
1 x 3 x 5 x 7 x ... x 123
= 1 x 3 x (5 x 7 x ... x 123)
= 3 x (15 x (8m + 1))
= 3 x (8(15m + 1) + 7)
= 3 x (8s + 7)
= 8t + 5

dan
127 x 129 x ... x 2005
= (235 x (8m + 1))
= 8 (235m + 29) + 3
= 8u + 3

Jadi Q = (1 x 3 x 5 x 7 x ... x 123) x (127 x 129 x ... x 2005)
= (8t + 7)(8u + 3)
= 8.8tu + 8.3t + 8.7u + 21
= 8.(8tu + 3t + 7u + 2) + 5
= 8v + 5

Jadi ^P/₁₂₅ = 8v + 5
⇔ P = 1000v + 675

Jadi 1 x 3 x 5 x 7 x ... x 2005 jika dibagi 1000 akan bersisa 675.